تبلیغات
علم - هندسه

علم

شنبه 3 مهر 1389

هندسه

نویسنده: parsa   طبقه بندی: *ریاضی*، 

هندسه مطالعه انواع مختلف اشکال و خصوصیات آنهاست. همچنین مطالعه ارتباط میان اشکال ، زوایا و فواصـل است.


تاریخچه هندسه





واژه انگلیسی Geometry ( هندسه ) از زبان یونانی ریشه گرفته است. این کلمه از دو کلمه «جئو»ٍ به معنای زمین و «متری» به معنای اندازه گیری تشکیل شده است.بنابراین هندسه اندازه گیری زمین است. مصریان اولیه نخستین کسانی بودند که اصول هندسه را کشف کردند. هر سال رودخانة نیل طغیان نموده و نواحی اطراف رودخانه راسیل فرا می‌گرفت.

این عمل تمام علایم مرزی میان تقسیمات مختلف را از بین می‌برد و لازم می‌شد دوباره هر کس زمین خود را اندازه‌گیری و مرزبندی نماید. آنها روشی از علامت‌گذاری زمین‌ها با کمک پایه‌ها و طناب‌ها اختراع کردند. آنها پایه‌‌ای را در نقطه‌ای مناسب در زمین فرو می‌کردند، پایه دیگری در جایی دیگر نصب می‌شد و دو پایه توسط طنابی که مرز را مشخص می‌ساخت به یکدیگر متصل می‌‌شدند.با دو پایه دیگر زمین محصور شده ، محلی برای کشت یا ساختمان سازی‌ می‌گشت.

با برآمدن یونانیان اطلاعات ریاضی قدم به مرحله ای علمی گذاشت.در آغاز تمام اصول هندسی ابتدایی بود. اما در سال 600 قبل از میلاد مسیح ، یک آموزگار یونانی به نام تالس، اصول هندسی را از لحاظ علمی ثابت کرد.
تالس‌دلایل ثبوت برخی از فرضیه‌ها را کشف کرد و آغازگر هندسة تشریحی بود. اما دانشمندی به نام اقلیدس که در اسکندریه زندگی‌ می‌کرد ، هندسه را به صورت یک علم بیان نمود.
وی حدود سال 300 قبل از میلاد مسیح ، تمام نتایج هندسی را که تا به حال شناخته بود ، گرد آورد و آنها را به طور منظم ، در یک مجموعة 13 جلدی قرار داد. این کتابها که اصول هندسه نام داشتند ، به مدت 2 هزار سال در سراسر دنیا برای مطالعه هندسه به کار می رفتند.

براساس این قوانین ، هندسه اقلیدسی تکامل یافت. هر چه زمان می گذشت ، شاخه های دیگری از هندسه توسط ریاضیدانان مختلف ، توسعه می یافت.
امروزه در بررسی علم هندسه انواع مختلف این علم را نظیر هندسة تحلیلی و مثلثات، هندسه غیر اقلیدسی و هندسه فضایی مطالعه می کنیم.
خدمت بزرگی که یونانیان در پیشرفت ریاضیات انجام دادند این بود که آنان احکام ریاضی را به جای تجربه بر استدلال منطقی استوار کردند.قبل از اقلیدس، فیثاغورث( 572-500 ق.م ) و زنون ( 490 ق.م. ) نیز به پیشرفت علم ریاضی خدمت بسیار کرده بودند.

در قرن دوم قبل از میلاد ریاضیدانی به نام هیپارک، مثلثات را اختراع کرد. وی نخستین کسی بود که تقسیم بندی معمولی بابلی ها را برای پیرامون دایره پذیرفت.به این معنی که دایره را به 360 درجه و درجه را به 60 دقیقه و دقیقه را به 60 قسمت برابر تقسیم نمود و جدولی براساس شعاع دایره به دست آورد که وترهای بعضی قوس‌ها را به دست می داد و این قدیمی ترین جدول مثلثاتی است که تاکنون شناخته شده است.

بعد از آن دانشمندان هندی موجب پیشرفت علم ریاضی شدند. در قرن پنجم میلادی آپاستامبا، در قرن ششم ، آریاب هاتا ، در قرن هفتم ،براهماگوپتا و در قرن نهم ،بهاسکارا در پیشرفت علم ریاضی بسیار مؤثر بودند.

.................................................. ......

کلاس‌بندی هندسه

هنـدسه مقـدماتی به دو شاخه تقسیـم می گردد :

هنـدسه مسطحه
هندسه فضایی

در هندسه مسطحه ، اشکالی مورد مطالعه قرار می‌گیرند که فقط دو بعد دارند، هندسه فضایی ، مطالعه اشکال هندسی سه بعدی است. این بخش از هندسه در مورد اشکال سه بعدی چون مکعب ها ،استوانه ها، مخروط ها، کره ها و غیره است.
در هندسه مدرن شاخه‌های زیر مورد مطالعه قرار می‌گیرند:

هندسه تحلیلی

هندسه برداری

هندسه دیفرانسیل

هندسه جبری

هندسه محاسباتی

هندسه اعداد صحیح

هندسه اقلیدسی

هندسه نااقلیدسی

هندسه تصویری

هندسه ریمانی

هندسه ناجابجایی

هندسه هذلولوی



هندسه نااقلیدسى و نسبیت عام اینشتین


در قرن نوزدهم دو ریاضیدان بزرگ به نام «لباچفسكى» و «ریمان» دو نظام هندسى را صورت بندى كردند كه هندسه را از سیطره اقلیدس خارج مى كرد. صورت بندى «اقلیدس» از هندسه تا قرن نوزدهم پررونق ترین كالاى فكرى بود و پنداشته مى شد كه نظام اقلیدس یگانه نظامى است كه امكان پذیر است. این نظام بى چون و چرا توصیفى درست از جهان انگاشته مى شد. هندسه اقلیدسى مدلى براى ساختار نظریه هاى علمى بود و نیوتن و دیگر دانشمندان از آن پیروى مى كردند. هندسه اقلیدسى بر پنج اصل موضوعه استوار است و قضایاى هندسه با توجه به این پنج اصل اثبات مى شوند. اصل موضوعه پنجم اقلیدس مى گوید: «به ازاى هر خط و نقطه اى خارج آن خط، یك خط و تنها یك خط به موازات آن خط مفروض مى تواند از آن نقطه عبور كند.»

هندسه «لباچفسكى» و هندسه «ریمانى» این اصل موضوعه پنجم را مورد تردید قرار دادند. در هندسه «ریمانى» ممكن است خط صافى كه موازى خط مفروض باشد از نقطه مورد نظر عبور نكند و در هندسه «لباچفسكى» ممكن است بیش از یك خط از آن نقطه عبور كند. با اندكى تسامح مى توان گفت این دو هندسه منحنى وار هستند. بدین معنا كه كوتاه ترین فاصله بین دو نقطه یك منحنى است.

هندسه اقلیدسى فضایى را مفروض مى گیرد كه هیچ گونه خمیدگى و انحنا ندارد. اما نظام هندسى لباچفسكى و ریمانى این خمیدگى را مفروض مى گیرند. (مانند سطح یك كره) همچنین در هندسه هاى نااقلیدسى جمع زوایاى مثلث برابر با 180 درجه نیست. (در هندسه اقلیدسى جمع زوایاى مثلث برابر با 180 درجه است.) ظهور این هندسه هاى عجیب و غریب براى ریاضیدانان جالب توجه بود اما اهمیت آنها وقتى روشن شد كه نسبیت عام اینشتین توسط بیشتر فیزیكدانان به عنوان جایگزینى براى نظریه نیوتن از مكان، زمان و گرانش پذیرفته شد. چون صورت بندى نسبیت عام اینشتین مبتنى بر هندسه «ریمانى» است. در این نظریه هندسه زمان و مكان به جاى آن كه صاف باشد منحنى است.

نظریه نسبیت خاص اینشتین تمایز آشكارى میان ریاضیات محض و ریاضیات كاربردى است. هندسه محض مطالعه سیستم هاى ریاضى مختلف است كه به وسیله نظام هاى اصول موضوعه متفاوتى توصیف شده اند. برخى از آنها چندبعدى و یا حتى nبعدى هستند. اما هندسه محض انتزاعى است و هیچ ربطى با جهان مادى ندارد یعنى فقط به روابط مفاهیم ریاضى با همدیگر، بدون ارجاع به تجربه مى پردازد. هندسه كاربردى، كاربرد ریاضیات در واقعیت است. هندسه كاربردى به وسیله تجربه فراگرفته مى شود و مفاهیم انتزاعى برحسب عناصرى تفسیر مى شوند كه بازتاب جهان تجربه اند. نظریه نسبیت، تفسیرى منسجم از مفهوم حركت، زمان و مكان به ما مى دهد. اینشتین براى تبیین حركت نور از هندسه نااقلیدسى استفاده كرد. بدین منظور هندسه «ریمانى» را برگزید.

هندسه اقلیدسى براى دستگاهى مشتمل بر خط هاى راست در یك صفحه طرح ریزى شده است اما در عالم واقع یك چنین خط هاى راستى وجود ندارد. اینشتین معتقد بود امور واقع هندسه ریمانى را اقتضا كرده اند. نور بر اثر میدان هاى گرانشى خمیده شده و به صورت منحنى در مى آید یعنى سیر نور مستقیم نیست بلكه به صورت منحنى ها و دایره هاى عظیمى است كه سطح كرات آنها را پدید آورده اند. نور به سبب میدان هاى گرانشى كه بر اثر اجرام آسمانى پدید مى آید خط سیرى منحنى دارد. براساس نسبیت عام نور در راستاى كوتاه ترین خطوط بین نقاط حركت مى كند اما گاهى این خطوط منحنى هستند چون حضور ماده موجب انحنا در مكان - زمان مى شود.
در نظریه نسبیت عام گرانش یك نیرو نیست بلكه نامى است كه ما به اثر انحناى زمان _ مكان بر حركت اشیا اطلاق مى كنیم. آزمون هاى عملى ثابت كردند كه شالوده عالم نااقلیدسى است و شاید نظریه نسبیت عام بهترین راهنمایى باشد كه ما با آن مى توانیم اشیا را مشاهده كنیم. اما مدافعین هندسه اقلیدسى معتقد بودند كه به وسیله آزمایش نمى توان تصمیم گرفت كه ساختار هندسى جهان اقلیدسى است یا نااقلیدسى. چون مى توان نیروهایى به سیستم مبتنى بر هندسه اقلیدسى اضافه كرد به طورى كه شبیه اثرات ساختار نااقلیدسى باشد. نیروهایى كه اندازه گیرى هاى ما از طول و زمان را چنان تغییر دهند كه پدیده هایى سازگار با زمان - مكان خمیده به وجود آید. این نظریه به «قراردادگرایى» مشهور است كه نخستین بار از طرف ریاضیدان و فیزیكدان فرانسوى «هنرى پوانكاره» ابراز شد. اما نظریه هایى كه بدین طریق به دست مى آوریم ممكن است كاملاً جعلى و موقتى باشند. اما دلایل كافى براى رد آنها وجود دارد؟


هندسه مسطحه


هندسه مسطحه شاخه‌ای از هندسه است که با شکل‌های دو بعدی سروکار دارد. گرچه ما در دنیایی سه بعدی زندگی میکنیم مطالعه هندسه مسطحه می‌تواند بینش ما را نسبت به بعضی از ویژگی‌های اطرافمان عمیق کند.


مفاهیم اساسی هندسه نیز،درست همان طور که مفهوم عدد از دنیایی مرئی مجرد شده است،از فرایندی تجریدی که قرن‌ها به طول انجامیده به دست آمده‌اند.
در این مورد ،با چشم پوشی از تفاوت‌های غیر ذاتی، از قبیل رنگ،شکل یا ترکیب رویه ای،و عدم توجه به اختلاف‌های دیگر اشیای حقیقی،به صورتهای فضایی در سه بعد:طول ،عرض و ارتفاع می‌رسیم.
جسم فضایی سه بعد،اما رویه تنها دو بعد،خط مثلا لبه برخورد دو رویه،یک بعد و سرانجام ،نقطه،که به عنوان تقاطع دو خط در نظر گرفته میشود بعد صفر دارد.

در هندسه مسطحه صفحه را همواره به صورتی که داده شده است در نظر می گیریم،و بررسی‌های هندسی را ،در حالت عمومی،در این صفحه انجام می‌دهیم،اما در حالت‌های خاص بهتر است که فضای اقلیدسی نیز به عنوان یک شی هندسی در نظر گرفته شود.
نقطه‌ها و خط‌ها مفاهیم اساسی هندسه مسطحه مقدماتی اند.به طور شهودی،خط را اغلب به صورت مسیر نقطه‌ای تعریف می‌کنند که در صفحه به چنان طریقی حرکت می‌کند که همواره کوتاهترین راه بین دو مکان خود را اختیار می‌کند و تغییر سو نمی‌دهد: با این همه ،حتی در رهیافتی دقیق‌تر نیز هیچ گونه تعریفی از خط و نقطه داده نمی‌شود اما در ریاضیات جدید رابطه‌های بین این دو نوع شی هندسی توسط اصل موضوعه (axiom)ها مشخص می‌شوند.




اقلیدس


هندسه فضایی


مقدمه

هندسه فضایی به بررسی موقعیت اجسام ، اجرام و نقاط متحرک یا ساکن در فضا می‌پردازد، فضا مختصاتی سه بعدی دارد شامل طول ، عرض ، ارتفاع که این ابعاد را با x ، y و z در صفحه مختصات فضایی نمایش می‌دهیم. مهمترین مبحث در هندسه فضایی مبحث بردارها می‌باشند. بنابراین در هندسه فضایی به مؤلفه‌های برداری ، بردارهای یکه ، صفحات ، فاصله‌ها و ... خواهیم پرداخت.

مؤلفه‌های برداری و بردارهای یکه i ، k , j

بعضی از کمیات فیزیکی مانند طول و جرم اندازه پذیر هستند و توسط اندازه‌شان کاملا معین می‌شوند، این کمیات و کمیات نظیر آنها را کمیات اسکالر می‌گوئیم. اما کمیات دیگری وجود دارند که علاوه بر اندازه باید جهت آنها نیز مشخص باشد تا معین شوند این کمیات را کمیات برداری گوئیم. یک بردار را معمولا با پاره خطی جهتدار نمایش می‌دهند که جهتش نمایش جهت بردار بوده و طولش بر حسب یک واحد اختیار شده نمایش اندازه‌اش می‌باشد. دو بردار را زمانی مساوی می‌نامیم که از لحاظ جهت و اندازه یکسان باشند.

بهترین جبر بردارها مبتنی بر نمایش آنها بر حسب مؤلفه‌های موازی محورهای مختصات دکارتی است. این کار با استفاده از واحد طول یکسان بر سه محور x ، z , y صورت می گیرد و در این راه از بردارهای با طول یک در امتداد محورها به عنوان بردارهای یکه استفاده می‌شود که i را بردار یکه محور j ، x را بردار یکه محور y ها و k را بردار یکه محور z ها می‌گوئیم.
مهمترین ویژگی بردارها در فضا مانند حالتی است که در صفحه قرار دارند طول و جهت آنها است. طول بردارها با دو بار استفاده از قضیه فیثاغورس به دست می‌آید. اما به صورت ساده‌تر جهت بردار ناصفر بردار واحدی است که از تقسیم مؤلفه‌های آن بر طولش به دست می‌آید.


بردار بین دو نقطه در فضا

بیشتر اوقات لازم است که بردار بین نقاط را بدست آوریم. هندسه فضایی این مشکل را برای ما حل می‌کند، به این ترتیب که اگر دو نقطه را برحسب مختصات فضایی که دارند بیان کنیم بردار بین این دو نقطه توسط رابطه زیر حاصل خواهد شد:



فاصله در فضا

برای یافتن فاصله بین دو نقطه به مختصات گفته شده در مطلب بالا از مجموع توان دوم هر یک از مؤلفه‌های فوق رادیکال با فرجه دوم می‌گیریم بنابراین داریم:


حاصل عبارت فوق یک کمیت اسکالر می‌باشد.

وسط یک پاره خط در فضا

برای پیدا کردن وسط یک پاره خط که دو نقطه را به هم وصل می‌کند متوسط و یا به عبارتی میانگین مختصات را بدست می‌آوریم.

.................................................. ................

کره و استوانه

علاوه بر مطالب فوق هندسه فضایی به مطالعه کره و استوانه نیز می‌پردازد. معادله متعارف کره به شعاع a و مرکز به صورت زیر است:



در مورد استوانه و مطالعه درباره استوانه ناچار به تعمیم هندسه تحلیلی به فضا هستیم. به طور کلی استوانه سطحی است که از حرکت خط مستقیم در امتداد یک منحنی تولید می‌شود به طوری که همواره موازی خط می‌باشد. به طور کلی ، هر منحنی مانند در صفحهاستوانه‌ای در فضا تعریف می‌کند که معادله آن به صورت فوق می‌باشد و از نقاط خطوطی مار بر منحنی تشکیل شده است که با محور z موازی‌اند. خطوط را گاهی عناصر استوانه می‌نامند. بحث فوق را می‌توان برای استوانه‌هایی که عناصرشان موازی سایر محورهای مختصات‌اند تکرار کرد. به طور خلاصه: یک معادله در مختصات دکارتی ، که از آن یکی از مختصات متغیر حذف شده، نمایش استوانه ای است که عناصرش موازی محور مربوط به متغیر مفقود است. سهمی گونها یکی دیگر از اشکال مختصات فضایی هستند. بسیاری از آنتنها به شکل قطعاتی از سهمی گونهای دوارند، رادیو تلسکوپها یکی دیگر از انواع سهمی گونهای مورد استفاده بشر هستند که در ساخت آنها از هندسه فضایی مدد گرفته شده است.

منشور

منشور قائم شکلی فضایی است که از دو یا چند ضلعی مساوی و موازی تشکیل شده که رئوس این چندضلعیها طوری به هم وصل شده اند که وجوه جانبی این شکل فضایی مستطیل می‌باشد.

مکعب مستطیل

مکعب مستطیل منشوری است که قاعده‌های آن مستطیل می‌باشد اگر ابعاد قاعده مکعب مستطیل b , a و ارتفاع آن c باشد خواهیم داشت:


a+b)2c) = مساحت جانبی مکعب مستطیل

(ab+ac+bc)2=2ab+(2bc+2ac)= مساحت کل مکعب مستطیل

Abc= حجم مکعب مستطیل

هرم

هرم شکلی است فضایی که قاعده آن یک یا چند ضلعی است و وجوه جانبی آن مثلث است. این مثلثها یک رأس مشترک به نام S دارند. هرمی که قاعده آن مربع باشد هرم مربع القاعده و هرمی که قاعده آن مثلث باشد هرم مثلث القاعده نامیده می‌شود. پاره خطی که از رأس هرم بر صفحه قاعده آن عمود می‌شود ارتفاع نامیده می‌شود. اگر قاعده یک هرم یک چند ضلعی منتظم باشد پای ارتفاع آن بر مرکز قاعده منطبق باشد، هرم را هرم منتظم می‌نامیم. ارتفاع هر وجه جانبی هرم منتظم را سهم هرم می‌نامند.


2/سهم×محیط قاعده= مساحت جانبی هرم منتظم

ارتفاع×مساحت قاعده ×1/3 = حجم هرم

مخروط

اگر یک مثلث قائم الزاویه را حول یکی از اضلاع زاویه قائمه دوران دهیم شکلی فضایی پدید می‌آید که مخروط نامیده می‌شود. در این صورت ضلعی که مثلث را حول آن دوران داده‌ایم ارتفاع مخروط و ضلع دیگر زاویه قائمه شعاع قاعده مخروط و وتر مثلث مولد مخروط می‌باشد.


2 / مولد مخروط×محیط قاعده مخروط = مساحت جانبی مخروط

ارتفاع×مساحت قاعده×1/3 = حجم مخروط

هندسه اقلیدسی

این عکس تغییر اندازه داده شده است. برای دیدن آن در اندازه واقعی اینجا را کلیک کنید. اندازه واقعی آن 930 در 1094 و 174KB بوده است.


هندسه اقلیدسی

هندسهٔ اقلیدسی به مجموعهٔ گزاره‌هایِ هندسی‌ای اطلاق می‌شود که به بررسی موجودات ریاضیاتی مثل نقطه و خط می‌پردازد و بر پایه‌هائی که اقلیدس ریاضی‌دان یونانی در کتاب خود به‌نام اصول عرضه کرده، بنا شده است. این قضایایِ هندسی عمدتاً توسطِ یونانیانِ باستان کشف و توسطِ اقلیدسِ اسکندرانی گردآوری شده‌اند و بخش بزرگی از آن همان است که در دبیرستان‌ها تدریس می‌شود. کتابِ «اصولِ» اقلیدس یکی از بزرگ‌ترین و تأثیرگذارترین کتاب‌ها چه به لحاظِ محتوا و چه از نظرِ روشِ اصلِ موضوعه‌ای‌اش بوده است. تا قرن نوزدهم میلادی هر وقت از هندسه سخن می‌رفت منظور هندسه اقلیدسی بود. بررسی مفاهیم هندسه اقلیدسی در دو بعد را «هندسه مسطحه» و در سه بعد «هندسه فضائی» می‌نامند. این مفاهیم را به ابعاد بالاتر از سه نیز می‌توان تعمیم داد و همچنان آن را هندسه اقلیدسی نامید.


تاریخچه

در حدود ۳۰۰ سال قبل از میلاد دنیای هندسه در تب و تاب بود. نظرات مختلفی در زمینهٔ هندسه وجود داشت و سرانجام اقلیدس با انتشار کتاب اصول بنیادی را بنا نهاد که تا قرن‌ها منسجم‌ترین بنیادهای نظری بشر محسوب می‌شود. روش اقلیدس ساده بود او چند اصل موضوع و چند اصل متعارف را بدون اثبات به عنوان اصول بدیهی پذیرفت و سپس بر اساس آن صدها قضیه دیگر را اثبات کرد که بیشتر آن‌ها بسیار دور از ذهن بودند.

اقلیدس شاگرد مکتب افلاطون بود. او در اصول سیزده جلدی خود تمام دانش بشری تا آن زمان گرد آورد و به مدت دو هزار سال مرجعی بی‌بدیل باقی ماند. روش بنداشتی (اصل موضوع) اقلیدس منجر به کاربرد الگویی شد که امروزه به آن ریاضیات محض می‌گوییم. محض از این نظر که با اندیشهٔ محض سر و کار دارد و از راه آزمون خطا و تجربه به دست نمی‌آید و درستی یا نادرستی احکام آن را نیز از راه تجربه نمی‌توان اثبات یا نفی کرد. برای استفاده از روش بنداشتی یا اصل موضوع دو شرط را باید پذیرفت:

* شرط اول: پذیرفتن احکامی به نام بنداشت یا اصل موضوع که به هیچ توجیه دیگری نیاز نداشته باشند.
* شرط دوم: توافق بر این‌که کی و چگونه حکمی "به طور منطقی" از حکم دیگر نتیجه می‌شود، یعنی توافق در برخی قواعد استدلال.

کار عظیم اقلیدس این بود که چند اصل ساده، چند حکم که بی‌نیاز به توجیهی پذیرفتنی بودند دست‌چین کرد، و از آن‌ها 465 گزاره نتیجه گرفت. زیبایی کار اقلیدس در این است که این همه را از آن اندک نتیجه گرفت.



اصول موضوعه

تمامِ هندسهٔ اقلیدسی (تمامِ قضیه‌هایی که در دبیرستان می‌خوانیم، قضیهٔ فیثاغورس و غیره) می‌توانند از پنج اصلِ موضوعهٔ زیر استخراج شوند:

1. از هر دو نقطه یک خطِ راست می‌گذرد.
2. هر پاره‌خط را می‌توان تا بینهایت رویِ خطِ راست امتداد داد.
3. با یک نقطه به عنوانِ مرکز و یک پاره‌خط به عنوانِ شعاع می‌توان یک دایره رسم نمود.
4. همهٔ زوایایِ قائمه با هم برابر اند.
5. اگر یک خط دو خطِ دیگر را قطع کند، آن دو خط در طرفی که جمعِ زوایایِ داخلیِ تولید شده توسطِ خطِ مورب کم‌تر از دو قائمه است به هم می‌رسند (اگر ادامه داده شوند).

برایِ بیانِ این اصولِ موضوعه به مفاهیمی مانندِ نقطه و خط نیاز داریم. همان‌طور که باید چند گزاره را بدونِ اثبات بپذیریم تا بقیهٔ گزاره‌ها استخراج شوند لازم است چند مفهوم را نیز بدونِ تعریف بپذیریم. به این مفاهیم «تعریف‌نشده‌ها» می‌گویند. همان‌طور که دیده می‌شود اصولِ هندسهٔ اقلیدسی به جز اصلِ پنجم بسیار ساده و بدیهی به نظر می‌آیند. به همین‌دلیل از زمانِ اقلیدس ریاضیدانانِ بیشماری در شرق و غرب (من‌جمله خیام ریاضیدانِ ایرانی) تلاش کرده‌اند اصلِ آزاردهندهٔ پنجم را به اثبات برسانند. این کار همواره شکست خورده است. سپس برخی ریاضیدانان تلاش نمودند خلافِ اصلِ پنجم را فرض کنند تا ببینند آیا هندسه‌ای متناقض پدید می‌آید یا نه. از آن‌جا که هیچ تناقضی در هندسه‌هایِ دارایِ اصلِ پنجمِ متفاوت دیده نشد به آن‌ها نامِ هندسه نااقلیدسی را دادند. در نتیجه این مسأله مطرح گردید که تجربه کدام هندسه را تأیید می‌کند. نظریهٔ نسبیت عام به این پرسش پاسخ می‌دهد.



اصول متعارفی

1. دو مقدار مساوی بامقدار سوم با هم مساوی اند.
2. اگر به دو مقدار مساوی مقادیر مساوی اضافه کنیم، حاصل جمع‌ها با هم مساوی اند.
3. اگر از دو مقدار مساوی مقادیر مساوی کم کنیم، باقیمانده‌ها با هم مساوی اند.
4. دو چیز قابل انطباق با هم برابر اند.
5. کل از جزء بزرگ‌تر است.



پس از اقلیدس

2100 سال پس از اقلیدس هندسهٔ او یگانه هندسهٔ موجود بود. با این وجود در طی این مدت طولانی ریاضی‌دان‌های زیادی کوشیدند اصل پنجم را از روی سایر اصل اثبات کنند که این کوشش‌ها سرانجام به نتیجهٔ دیگری منجر شد و در اوایل قرن نوزدهم هندسه‌های جدیدی به وجود آمد که هندسه‌های نااقلیدسی نامیده می‌شود. هندسه‌یی که تنها بر اساس چهار اصل اول اقلیدس ساخته می‌شود هندسه نتاری نامیده می‌شوند. دیوید هیلبرت در آخرین سال قرن نوزدهم (1899) کتاب "مبانی هندسه" خود را نوشت. هیلبرت در این کتاب صورت‌بندی دقیق‌تری از هندسهٔ اقلیدسی ارائه دارد.

هندسهٔ نااقلیدسی






تصویری از سه حالت اصلی در بحث هندسه‌های نااقلیدسی.


هندسه‌های نااقلیدسی از مطالعهٔ عمیق‌تر موضوع توازی در هندسهٔ اقلیدسی پیدا شده‌اند. دو نیم‌خط موازی عمود بر پاره خط PQ را در نمودار شماره 1 در نظر بگیرد. در هندسهٔ اقلیدسی فاصلهٔ (عمودی) بین دو نیم‌خط هنگامی که به سمت راست حرکت می‌کنیم فاصلهٔ p تا Q باقی می‌مانند؛ ولی در اوایل سدهٔ نوزدهم دو هندسه‌ی دیگر پیشنهاد شد. یکی هندسهٔ هذلولوی (از کلمهٔ یونانی هیپربالئین به معنی "افزایش یافتن") که در آن فاصلهٔ میان نیم‌خط‌ها افزایش می‌یابد و دیگری هندسهٔ بیضوی (elliptic geometry) (از کلمهٔ یونانی ایپلن "کوتاه شدن") که در آن فاصله رفته رفته کم می‌شود و سرانجام نیم‌خط‌ها هم‌دیگر را می‌برند. این هندسهٔ نااقلیدسی بعدها توسط گاوس و ریمان در قالب هندسهٔ کلی‌تری بسط داده شدند. (همین هندسهٔ کلی‌تر است که در نگرهٔ نسبیت عام اینشتاین مورد استفاده قرار گرفته است.)

نظرات() 
cialis
جمعه 16 آذر 1397 01:01 ق.ظ

Thank you. Awesome information!
il cialis quanto costa cialis qualitat cialis generique cialis lowest price price cialis best i recommend cialis generico cialis 5 mg funziona cialis dosage recommendations effetti del cialis low cost cialis 20mg
Buy cialis online
پنجشنبه 15 آذر 1397 05:33 ق.ظ

Whoa a good deal of beneficial data!
we choice cialis uk free cialis link for you cialis price cialis cuantos mg hay cialis pas cher paris preis cialis 20mg schweiz order generic cialis online cialis en mexico precio cialis kaufen cialis for bph
buy cialis online safely
چهارشنبه 14 آذر 1397 11:29 ق.ظ

Wonderful information. Many thanks!
dose size of cialis low dose cialis blood pressure import cialis prices for cialis 50mg brand cialis generic buying cialis overnight cialis coupon can i take cialis and ecstasy recommended site cialis kanada purchase once a day cialis
buy cheap cialis coupon
چهارشنبه 14 آذر 1397 12:02 ق.ظ

You actually said it superbly!
cialis 5 mg para diabeticos cialis for bph prescription doctor cialis cialis farmacias guadalajara legalidad de comprar cialis wow cialis tadalafil 100mg if a woman takes a mans cialis cialis generika in deutschland kaufen only here cialis pills tarif cialis france
Cialis online
سه شنبه 13 آذر 1397 01:03 ب.ظ

Reliable postings. Many thanks!
cialis purchasing cialis generisches kanada cialis online holland cialis online holland canadian cialis cialis 05 cialis vs viagra non 5 mg cialis generici cialis daily new zealand prescription doctor cialis
Buy cialis online
سه شنبه 13 آذر 1397 01:34 ق.ظ

Effectively voiced indeed! !
enter site natural cialis cialis price in bangalore cialis in sconto cialis 30 day trial coupon effetti del cialis prezzo di cialis in bulgaria cipla cialis online if a woman takes a mans cialis safe site to buy cialis online only best offers 100mg cialis
buy cheap cialis coupon
دوشنبه 12 آذر 1397 12:32 ب.ظ

Nicely put. Regards!
cialis for sale in europa viagra or cialis cialis venta a domicilio generic cialis at walmart tadalafil 20 mg we choice free trial of cialis cialis 5mg billiger prices on cialis 10 mg cialis generic cialis venta a domicilio
Buy generic cialis
یکشنبه 11 آذر 1397 12:07 ب.ظ

Seriously plenty of terrific material!
cialis name brand cheap price cialis wal mart pharmacy buy online cialis 5mg only now cialis 20 mg trusted tabled cialis softabs we like it safe cheap cialis cialis professional from usa cialis prices in england cilas cialis without a doctor's prescription
buy cialis online best price
یکشنبه 11 آذر 1397 01:06 ق.ظ

With thanks, Helpful information.
cialis alternative only now cialis for sale in us cialis farmacias guadalajara wow cialis 20 buy online cialis 5mg estudios de cialis genricos online cialis cialis 5 mg scheda tecnica price cialis best cialis name brand cheap
Buy generic cialis
شنبه 10 آذر 1397 11:56 ق.ظ

Kudos, Awesome information.
canadian cialis i recommend cialis generico cialis generico postepay recommended site cialis kanada generic for cialis tadalafil tablets click now buy cialis brand deutschland cialis online cialis online deutschland cialis online holland
Online cialis
شنبه 10 آذر 1397 12:38 ق.ظ

You definitely made the point.
order generic cialis online estudios de cialis genricos generic cialis pro overnight cialis tadalafil achat cialis en itali cialis kamagra levitra brand cialis nl cialis online cialis online cialis kaufen bankberweisung
Cialis canada
جمعه 9 آذر 1397 01:32 ق.ظ

Fantastic forum posts, With thanks!
what is cialis cialis online nederland bulk cialis cialis usa cost wow cialis 20 cialis pills boards brand cialis nl cialis dosage recommendations cialis therapie 5 mg cialis coupon printable
Cialis 20 mg
پنجشنبه 8 آذر 1397 02:11 ب.ظ

Excellent facts. Kudos!
cialis 5 mg effetti collateral we like it cialis soft gel cialis generic prezzo di cialis in bulgaria cialis 50 mg soft tab cialis generique 5 mg wow cialis tadalafil 100mg 5 mg cialis pharmacie en ligne cialis 20mg preis cf click here to buy cialis
Online cialis
پنجشنبه 8 آذر 1397 01:54 ق.ظ

Terrific facts. Many thanks.
cialis wir preise cialis rezeptfrei cipla cialis online cialis tadalafil cialis 20 mg best price effetti del cialis import cialis cialis cost cialis generic tadalafil buy cialis side effects
Cialis canada
چهارشنبه 7 آذر 1397 01:27 ب.ظ

Terrific material. With thanks.
cialis lowest price import cialis cialis arginine interactio cialis flussig rezeptfrei cialis apotheke does cialis cause gout sublingual cialis online rx cialis para comprar price cialis per pill cialis generic
Cialis generic
چهارشنبه 7 آذر 1397 01:29 ق.ظ

Thanks a lot! Numerous knowledge.

buy cialis online nz how much does a cialis cost 200 cialis coupon dose size of cialis ou trouver cialis sur le net enter site 20 mg cialis cost cialis rckenschmerzen only best offers 100mg cialis brand cialis nl prezzo cialis a buon mercato
Сialis
یکشنبه 27 آبان 1397 08:31 ب.ظ
Hi there, just became aware of your blog through Google, and found that it's really informative.

I'm gonna watch out for brussels. I will appreciate if you continue this in future.

Many people will be benefited from your writing. Cheers!
buy 10 mg levitra
پنجشنبه 19 مهر 1397 06:05 ق.ظ

Good facts, Regards!
levitra 20 mg bayer prezzo buy levitra levitra 20 mg buy levitra 10mg buy levitra online levitra online levitra 10 mg kopen levitra online buy levitra levitra 20mg
Online cialis
سه شنبه 10 مهر 1397 04:25 ق.ظ

Fantastic stuff, Kudos.
cialis official site cialis great britain walgreens price for cialis cialis online deutschland cialis daily reviews cialis super acti achat cialis en itali cialis side effects female cialis no prescription canadian cialis
Cialis prices
یکشنبه 8 مهر 1397 01:49 ق.ظ

Many thanks! I enjoy it!
5 mg cialis pharmacie en ligne we choice free trial of cialis cialis generique 5 mg buy cialis cheap 10 mg cialis kaufen bankberweisung low dose cialis blood pressure cialis for sale south africa cialis dosage recommendations import cialis the best site cialis tablets
http://cialisvipsale.com/
چهارشنبه 28 شهریور 1397 06:15 ب.ظ

Nicely put, With thanks!
look here cialis order on line free generic cialis cialis coupon cialis qualitat generic cialis soft gels cheap cialis buy cialis sample pack where to buy cialis in ontario cialis 20 mg cost cialis 100 mg 30 tablet
http://buycialisky.com/
سه شنبه 27 شهریور 1397 03:03 ب.ظ

Whoa quite a lot of wonderful info!
cialis 100 mg 30 tablet 5 mg cialis coupon printable get cheap cialis link for you cialis price cialis bula buy cialis online cheapest cialis kamagra levitra cialis 20 mg best price cialis para que sirve calis
http://cialisvonline.com/
پنجشنبه 15 شهریور 1397 03:12 ق.ظ

Nicely put. With thanks.
cialis tablets best generic drugs cialis cipla cialis online sialis prix cialis once a da calis how much does a cialis cost order a sample of cialis generic cialis tadalafil tadalafil 20 mg
http://canadianpharmacytousa.com/
سه شنبه 13 شهریور 1397 07:08 ب.ظ

You actually stated this perfectly!
no 1 canadian pharcharmy online canada medication prices canada online pharmacies reviews online pharmacies india canadian pharmacies good canadian online pharmacies online pharmacy canada canada online pharmacies canadian discount pharmacies in canada canadian pharmacies without an rx
viabiovit.com
سه شنبه 13 شهریور 1397 03:42 ق.ظ

Awesome content. Thanks a lot!
viagra pharmacy viagra cheap viagra cheap generic viagra online how to get viagra online pharmacy viagra online generic viagra online uk viagra side effects viagra on prescription viagra buy no prescription viagra buy viagra online pharmacy viagra where can i buy viagra online safely
Cialis canada
دوشنبه 12 شهریور 1397 08:05 ب.ظ

Valuable stuff. Appreciate it!
cialis savings card brand cialis generic female cialis no prescription generic cialis pro cialis flussig cialis kaufen wo we recommend cialis best buy we like it cialis soft gel we like it cialis soft gel cialis prices
http://buycialisonla.com/
دوشنبه 12 شهریور 1397 01:33 ق.ظ

Whoa quite a lot of amazing tips!
tadalafilo cialis generico lilly cialis dosage amounts tadalafil 20mg cialis manufacturer coupon cialis efficacit cialis online prezzo di cialis in bulgaria cialis without a doctor's prescription cialis qualitat
http://viagravonline.com/
یکشنبه 11 شهریور 1397 12:32 ب.ظ

You actually revealed that really well!
click here to buy cialis cialis qualitat cialis generic availability non 5 mg cialis generici buying cialis overnight prix cialis once a da we choice cialis pfizer india cialis e hiv generic cialis levitra venta de cialis canada
kawanboni.com
یکشنبه 21 مرداد 1397 11:43 ب.ظ

Nicely put. Kudos!
cialis 30 day sample buy cialis sample pack cialis 20 mg best price price cialis wal mart pharmacy cialis 20 mg calis cialis free trial generic cialis pill online viagra or cialis cialis pills boards
Chalmers
چهارشنبه 23 خرداد 1397 04:45 ق.ظ
WOW јust whwt I ѡas lookong f᧐r. Came һere bby searching
fߋr x
 
لبخندناراحتچشمک
نیشخندبغلسوال
قلبخجالتزبان
ماچتعجبعصبانی
عینکشیطانگریه
خندهقهقههخداحافظ
سبزقهرهورا
دستگلتفکر
نمایش نظرات 1 تا 30

آمار وبلاگ

  • کل بازدید :
  • بازدید امروز :
  • بازدید دیروز :
  • بازدید این ماه :
  • بازدید ماه قبل :
  • تعداد نویسندگان :
  • تعداد کل پست ها :
  • آخرین بازدید :
  • آخرین بروز رسانی :