تبلیغات
علم - مثلثات

علم

شنبه 3 مهر 1389

مثلثات

نویسنده: parsa   طبقه بندی: *ریاضی*، 

مطالعه روی زوایا و روابط موجود میان زوایای اشکال مسطح و سه بعدی مثلثات نامیده می‌شود.تابع مثلثاتی از قبیل سینوس و کسینوس توابعی هستند که بوسیله روابط هندسی تعریف می‌شوند.



تاریخچه

اولین کسانی که از مثلثات استفاده می‌کردند یونانیان بودند.در یونان قدیم از مثلثات برای تعیین طول مدت روز یا طول سال (با مشخص کردن موقعیت ستارگان در آسمان)استفاده می‌شد.بعدها ریاضیدانان و منجمان هندی نیز پیشرفت‌هایی در مثلثات بدست آوردند ولی پیشرفت این علم مدیون دانشمندان مسلمان است .مسلمانان اصلی‌ترین نقش را در پیشرفت این علم ایفا کردند و سپس این اندوخته‌ها را در قرون وسطی به اروپاییان منتقل کردند. اروپاییان نیز دانش فراوان مسلمانان در مثلثات استفاده کردند و این علم را توسعه داده و به شکل امروزی در آوردند.


کاربردها

علم مثلثات در نجوم کاربرد فراوانی دارد و ازآن برای اندازه‌‌گیری فواصل بین ستارگان استفاده می‌شود. همچنین در طراحی سیستم‌های ماهواره ای از مثلثات استفاده فراوانی می‌شود.در دریانوردی نیز از مثلثات برای تشخیص جهت‌های جغرافیایی کمک گرفته می‌شود.امروزه از مثلثات در شاخه های مختلف فیزیک ماننداپتیک ، اکوستیک ، در تحلیل بازارهای مالی، الکترونیک ، معماری ، اقیانوس شناسی ، مکانیک ، بلور شناسی ، ژئودزی ، عمران و اقتصاد استفاده فراوانی می‌شود


دایره مثلثاتی

در ریاضیات دایره مثلثاتی دایره‌ای به شعاع واحد است. x و y دو مختصه روی این دایره هستند که بنا به تعریف دایره:

x2 + y2 = 1

نقطه (x, y) روی این دایره با (۰, ۰) زاویه‌ای می‌سازد که از روابط زیر بدست می‌آید:








دایره مثلثاتی با نمایش زاویه t در نقطه (x, y)

بنابر این خواهیم داشت:



و از آنجا که توابع سینوس و کسینوس دوره‌ای (پریودیک) هستند:





که در آن k عددی صحیح است. سایر توابع مثلثاتی نظیر تانژانت و کتانژانت و سکانت و کسکانت را می‌توان به همین ترتیب بدست آورد.





فرمول‌های مهم مثلثات

فرمول های مهم مثلثات برای تبدیل و محاسبه





















ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــ


(فرمول طلایی)







ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــ


(تبدیل ضرب به جمع)









ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــ


(تبدیل جمع به ضرب)











ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــ


نسبت های مثلثاتی بر حسب









ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــ


فرمول کاشانی که در هر مثلثی صدق می‌کند




قانون کسینوس‌ها

در مثلثات قانون کسینوس‌ که به نام‌ قانون کاشانی هم شناخته می‌شود و در مورد هر نوع مثلثی صدق می‌کند به این شکل است:


















نسبت های مثلثاتی

سینوس یکی از نسبت‌های مثلثاتی است.

تعریف
در مثلث قائم‌الزاویه نسبت ضلع مقابل هر زاویه حاده به وتر را سینوس آن زاویه می‌نامند.
سینوس را در متن‌های عربی و فارسی قدیم «جیب» می‌نامیدند.
طبق تعریف بالا در مثلث زیر داریم:






تغییرات سینوس
اگر به هنگام گردش در دایره مثلثاتی از زاویه صفر شروع کرده و یک دور کامل در جهت مثبت بگردیم، تغییرات سینوس زوایا بدین صورت خواهد بود:




تابع سینوس
تابع سینوس تابعی است که مقدار کمان (زاویه) را به عنوان متغیر می‌پذیرد و اندازه سینوس زاویه را به ما می‌دهد. دامنه این تابع تمام اعداد حقیقی بوده و برد آن بازه [1,1 − ] است. شکل تابع f(x) = sinx گویاست که این تابع متناوب و فرد بوده و دوره تناوب آن 2π می‌باشد.





.................................................. ....................

کسینوس
کسینوس یکی از نسبت‌های مثلثاتی است. اصطلاح قدیمی این نسبت در ریاضیات و اخترشناسی قدیم جیب تمام بوده‌است.




تعریف
در مثلث قائم‌الزاویه نسبت ضلع مجاور هر زاویه حاده به وتر را کسینوس آن زاویه می‌نامند.
با توجه به تعریف سینوس در مثلث ABC خواهیم داشت:







می‌دانیم که زوایای B و C متمم یکدیگرند . پس داریم:







تغییرات کسینوس
اگر به هنگام گردش در دایره مثلثاتی از زاویه صفر شروع کرده و یک دور کامل در جهت مثبت بگردیم، تغییرات کسینوس زوایا بدین صورت خواهد بود:




تابع کسینوس
تابع کسینوس تابعی است که مقدار کمان (زاویه) را به عنوان متغیر می‌پذیرد و اندازه کسینوس زاویه را به ما می‌دهد. دامنه این تابع تمام اعداد حقیقی بوده و برد آن بازه [1,1 − ] است. شکل تابع f(x) = cosx گویاست که این تابع متناوب بوده و دوره تناوب آن 2π می‌باشد. تابع کسینوس تابعی زوج می‌باشد.



.................................................. .................................

تانژانت
تانژانت، یکی از نسبت‌های مثلثاتی است.



تاریخچه
ظل (از عربی، به معنای سایه) اصطلاحی است که در گذشته در متن‌های اسلامی و ایرانی برای تانژانت در ریاضیات و اخترشناسی به‌کار می‌رفت.
ستاره‌شناسی به نام حبش‌بن حاسب اولین بار در قرن سوم هجری قمری (قرن نهم میلادی) این نسبت مثلثاتی را به کار برد. در گذشته به آن ظل می‌گفتند.



تعریف
تانژانت در مثلث قائم‌الزاویه چنین تعریف می‌شود؛ نسبت ضلع مقابل هر زاویه حاده به ضلع مجاور آن.

به عنوان مثال در مثلث روبه‌رو تانژانت زاویه تتا برابر است با
.




تابع تانژانت
نمودار تابع تانژانت به شکل زیر است. این تابع:

* پیوسته نیست.
* متناوب است (با دوره تناوب π).
* دارای بینهایت مجانب عمودی است.





شیب خط
در نمودار‌هایی که شکل یک تابع را نشان می‌دهند شیب نمودار (یا خط مماس بر نمودار) در هر نقطه برابر است با تانژانت زاویه‌ای که خط مماس بر آن نقطه از منحنی، با جهت مثبت محور افقی (محور xها) می‌سازد.


.................................................. .........................

کتانژانت

کتانژانت، یکی از نسبت‌های مثلثاتی است که در ریاضیات و اخترشناسی کاربرد فراوان دارد و در گذشته به آن ظل تمام می‌گفتند.

این نسبت مثلثاتی چنین تعریف می‌شود: نسبت ضلع مجاور به زاویه حاده، به ضلع مقابل آن در مثلث قائم‌الزاویه.







نظرات() 
How can you heal an Achilles tendonitis fast?
دوشنبه 27 شهریور 1396 08:44 ب.ظ
Wonderful beat ! I wish to apprentice whilst you amend your web site, how can i subscribe for a weblog website?
The account aided me a acceptable deal. I were a little bit acquainted of
this your broadcast offered brilliant transparent concept
مراد
چهارشنبه 25 مرداد 1396 11:52 ب.ظ
بسیار ممنونم، بسیار مفید بود
Foot Pain
یکشنبه 15 مرداد 1396 11:16 ق.ظ
Hi there, I discovered your website by way of Google
at the same time as searching for a comparable topic,
your web site got here up, it appears to be like great.
I have bookmarked it in my google bookmarks.
Hello there, simply was alert to your blog through Google, and found that it
is truly informative. I am going to be careful for brussels.

I'll be grateful in case you continue this in future.
Numerous other people can be benefited from your writing.
Cheers!
http://sonjacanedo.weebly.com
پنجشنبه 21 اردیبهشت 1396 12:10 ب.ظ
I like the valuable info you provide in your articles.
I'll bookmark your weblog and check again here frequently.
I'm quite certain I will learn plenty of new stuff right here!
Best of luck for the next!
BHW
جمعه 1 اردیبهشت 1396 12:31 ق.ظ
Undeniably believe that which you said. Your favorite reason seemed to be on the internet the simplest thing to be aware of.
I say to you, I definitely get annoyed while people
consider worries that they plainly do not know about.
You managed to hit the nail upon the top and defined out the whole thing without having
side effect , people can take a signal. Will probably be back to get more.

Thanks
سه شنبه 4 اسفند 1394 06:20 ب.ظ
عالی
سه شنبه 4 اسفند 1394 06:18 ب.ظ
[ ]
م
پنجشنبه 14 آبان 1394 06:37 ق.ظ
سلام من ی سوال داشتم که هر چی سرچ کردم جوابشو پیدا نکردم میخواستم اثبات مشتق سکانت و کسکانت رو کامل دریافت کنم که اصلا نشد از هرکسی ام پرسیدم جواشو نمیدونست ممنون میشم کمکم کنید
علی
پنجشنبه 16 مهر 1394 03:34 ق.ظ
ممنونم که به فکر ما هستید , دمتون گرم
جمعه 8 اسفند 1393 09:46 ب.ظ
مهتاب
دوشنبه 21 بهمن 1392 06:33 ب.ظ
مرسی
دوشنبه 22 مهر 1392 11:03 ق.ظ
دمت گرم
دوشنبه 22 مهر 1392 11:02 ق.ظ


ناقصه :)
دوشنبه 8 مهر 1392 08:38 ق.ظ
متشکر که این مطالب نوشته اید ناقص است ورسا نیست
سارا
پنجشنبه 12 بهمن 1391 10:49 ب.ظ
باسلام و تشکر اطلاعات شما در مورد تاریخ مثلثات ناقص است و خیلی خلاصه طبق اسناد موجود تاریخی اولین شخصی که اصولی از مثلثات استفاده کرد پیامبر اسلام بوده و بعد ایشان ابولوفا جوز جانی و ابوریحان بیرونی ادامه ی کار ایشان رو دادند در ضمن کوتانژانت ظل ال معکوس است
camilla
یکشنبه 28 آبان 1391 07:39 ب.ظ
vaghean be an niyaz dashtam az shoma tashakor doste khob
:)
دوشنبه 17 آبان 1389 07:24 ق.ظ
خیلی ممنون خدا خیرتون بده
 
لبخندناراحتچشمک
نیشخندبغلسوال
قلبخجالتزبان
ماچتعجبعصبانی
عینکشیطانگریه
خندهقهقههخداحافظ
سبزقهرهورا
دستگلتفکر

آمار وبلاگ

  • کل بازدید :
  • بازدید امروز :
  • بازدید دیروز :
  • بازدید این ماه :
  • بازدید ماه قبل :
  • تعداد نویسندگان :
  • تعداد کل پست ها :
  • آخرین بازدید :
  • آخرین بروز رسانی :