تبلیغات
علم - جبر

علم

شنبه 3 مهر 1389

جبر

نویسنده: parsa   طبقه بندی: *ریاضی*، 

جبر از شاخه های اصلی علم ریاضیات است که تاریخی بیش از 3000 سال دارد.
این علم در طول تاریخ تحولات بسیاری داشته و در حال حاضر شامل شاخه‌های زیادی است.




تاریخچه

تاریخچه‌ی این علم به بیش از 3000 سال پیش در مصر و بابل برمی‌گردد که در آنجا در مورد حل برخی از معادلات خطی بحث شده است. در هند و یونان باستان نیز ، حدود یک قرن پیش از میلاد از روش‌های هندسی برای حل برخی از معادلات جبری استفاده می‌گردیده است . در قرن اول میلادی نیز بحث در مورد برخی از معادلات جبری در آثار دیوفانتوس یونانی و برهماگوپتای هندی دیده می شود.

کتاب جبر و المقابله ی خوارزمی ، اولین اثر کلاسیک در جبر می‌باشد که که کلمه‌ی جبر یا‌ Algebra از آن آمده است. خیام دیگر ریاضی‌دان شهیر ایرانی است که در آثار خود جبر را از حساب تمییز داد و گامی بزرگ را در تجرید و پیشرفت این علم برداشت.
درقرن 16 میلادی ، روش حل معادلات درجه سوم توسط دل‌فرو (Scipione del Ferro) و معادلات درجه چهارم توسط فراری (Ludovico Ferrari )کشف گردید.

اواریست گالوا ( Évariste Galois ) ، ریاضی‌دان فرانسوی که در 20 سالگی در جریان انقلاب فرانسه در یک دوئل کشته شد ، بیشترین سهم را در پیشرفت و تجرید این علم داشت که نوشته‌های او ، سال‌ها پس از مرگش ، پس از مطالعه و بررسی توسط دیگر ریاضی‌دانان موجب تحول عظیم در این علم گردید.

نیلز هنریک ابل ( Niels Henrik Abel ) ، نروژی اولین کسی بود که ثابت کرد معادلات درجه 5 به بالا ،‌بوسیله‌ی رادیکال‌ها حل پذیر نیستند.

کارل فریدریش گاوس (Carl Friedrich Gauss ‌ ) ، ریاضی دان آلمانی که تاثیرات ژرفی د رتوسعه ی شاخه های مختلف برداشته ، سهم زیادی در پیشرفت این علم داشت که مهم‌ترین آن همانا قضیه اساسی جبر می‌باشد.

پس از کارهای اویلر ،‌ لاگرانژ ، گاوس ،‌ کوشی و بسیاری دیگر از بزرگترین ریاضی‌دانان تاریخ ، علم جبر به قرن بیستم رسید که با شروع این قرن و به دلیل کشف تناظر های شاخه‌هایی از این علم با شاخه‌هایی از هندسه ،‌ این علم در شاخه‌های مختلف پیش رفت.
از جمله بزرگ‌ترین پیشرفت های جبر و ریاضیات در این قرن ، کلاس‌بندی گروه‌های ساده‌ی متناهی می‌باشد.


کلاس‌بندی

جبر مقدماتی:در این شاخه از جبر ، ویژگیهای اعمال چهارگانه در دستگاه اعداد حقیقی ثبت می‌شود.علائمی تعریف می‌شوند که بوسیله آن اعداد ثابت و متغیرها از هم تفکیک می‌گردد و روش هایی که برای حل معادلات مورد استفاده قرار می‌گیرد.

جبر مجرد:در این شاخه ساختارهای جبری از قبیل گروهها، حلقه ها و میدان هاتعریف می‌شوند و در مورد خصوصیات آنها بحث می شود.این شاخه از جبر که حوزه پژوهش بسیاری از ریاضی‌دانان معاصر خود به شاخه‌های مختلفی تقسیم می‌شود:

جبر جابجایی
جبر ناجابجایی


جبر خطی: به بررسی فضاهای برداری و نگاشت‌های خطی بین این فضاها می‌پردازد و کاربردهای فراوان در شاخه‌های مختلف علم دارد.




جبر مقدماتی

جبر مقدماتی عملیات پایه‌ای بر روی چهار عمل اصلی را در بر می‌گیرد. پس از تعریف علائمی که بوسیله آن اعداد ثابت و متغیرها از هم تفکیک می‌شوند، روش‌هایی برای حل معادلات مورد استفاده قرار می‌گیرد.

جبر مقدماتی گونهٔ بنیادی و نسبتاً پایه‌ای جبر است که به دانش‌آموزانی که احتمالاً آگاهی کمی دارند و یا هیچ آگاهی قانونمندی فراتر از حساب در ریاضیات ندارند، آموخته می‌شود. در حالی که در حساب تنها اعداد و اعمال حسابی آن‌ها (مانند +, −, ×, ÷) انجام می‌پذیرد، در جبر همچنین از نشانه‌هایی (چون x و y یا a و b) برای نشان دادن اعداد استفاده می‌شود، که متغیر نامیده می‌شوند.


جبر مجرد

جبر مجرّد شاخه‌ای‌ست از ریاضیات که به بررسی ساختارهای جبری مثل گروه، حلقه، و میدان می‌پردازد. آغاز تعریف رسمی این گونه ساختارها به قرن نوزدهم (م) باز می‌گردد.

اصطلاح «جبر مجرّد» در برابر «جبر مقدّماتی» یا «جبر دبیرستانی» به‌کار می‌رود. در حدود نیمه اوّل قرن بیستم این رشته را «جبر مدرن» می‌نامیدند.

جبر مجرد مقدماتی،اشیاء و اعمال ریاضی را،فارغ از ماهیت آنها بررسی می‌کند. اعداد، توابع، ماتریسها،از عناصر آن و اعمال دوتایی ضرب،ترکیب توابع و ... از اعمال آن به شمار می‌آیند.دسته بندی گروهها و حلقه ها از موضوعات اساسی این شاخه به حساب می‌آیند.برخی شاخه های هندسی با جبر مجرد ارتباط پیدا می‌کنند.

جبر مقدماتی به همراه جبر مجرد و جبر خطی سه شاخه ی اصلی دستگاه جبر را تشکیل می‌دهند.



قضیه باقیمانده چینی

قضیه باقی مانده چینی(Chinese remainder theorem) قضیه‌ای در زمینه نظریه اعداد است و تعمیم آن در جبر نظری بیان می‌شود.








نمونه

پرسشی برای بدست آوردن عدد صحیح x که در دستگاه زیر صدق کند را در نظر بگیرید.



با استفاده از الگوریتم اقلیدس برای ۳و ۴×۵ = ۲۰ داریم (۱۳-) × ۳ + ۲ × ۲۰ = ۱، یعنی e۱ = ۴۰ و برای ۴ و ۳×۵ = ۱۵ بدست می‌آوریم
(۱۱-) × ۴ + ۳ × ۱۵ = ۱ یعنی e۲ = ۴۵. در نهایت برای ۵ و ۳×۴ = ۱۲ الگوریتم اقلیدس نتیجه می‌دهد۵ × ۵ + (۲-) × ۱۲ = ۱ به این معنا که ''e۳ = −۲۴ است. پس یکی از جوابها برای x عدد ۲ × ۴۰ + ۳ × ۴۵ + ۱ × (۲۴-) = ۱۹۱ است. تمام اعداد صحیح دیگر که به پیمانه
۳ × ۴ × ۵ = ۶۰ با ۱۹۱ همنهشتند هم جواب هستند. یعنی همه آنها با ۱۱ به پمانه ۶۰ همنهشتند.


نکته: ممکن است اعداد بدست آمده با الگوریتم اقلیدس برای eiها متفاوت باشد، اما در جواب نهایی همه مشترکند.


کاربرد

از این قضیه در الگوریتم RSA برای رسیدن به جواب در زمان کمتر استفاده می‌شود.

برای انجام محاسبات بر روی اعداد بسیار بزرگ از این قضیه استفاده می‌شود. اعداد که نسبت به هم اولند به عنوان ni انتخاب می‌شوند و اعداد بزرگ برای محاسبه به صورت زوج مرتب از ai ها در می‌آیند و پس از انجام محاسبات بر روی ai ها نتیجه به صورت خود عدد درمی‌آید.



اثبات قضیه

یک طرف قضیه با روشی که برای بدست آوردن جواب ارائه شد اثبات شد. اثبات یکتایی این جواب هم با استفاده از برهان خلف ثابت می‌شود:

فرض می‌کنیم که دو جواب صحیح مثبت x و y کوچکتر از N برای دستگاه وجود دارد. بعد ثابت می کنیم که هر کدام از ni ها تفاضل این دو عدد را می شمارد. نتیجه می شود که N هم تفاضل این دو عدد را می شمارد که این خلاف فرض ما است که دو عدد x و y را بین صفر و N در نظر گرفتیم.




نظرات() 
chaturbate login hack
سه شنبه 14 شهریور 1396 01:20 ب.ظ
It's a shame you don't have a donate button! I'd without
a doubt donate to this outstanding blog! I guess for now i'll settle for bookmarking and adding
your RSS feed to my Google account. I look forward to fresh updates and will share this site with my Facebook group.
Chat soon!
Foot Pain
جمعه 13 مرداد 1396 07:22 ب.ظ
What's up, for all time i used to check website posts here early in the break of day,
since i enjoy to find out more and more.
http://penitentremorse58.exteen.com
جمعه 13 مرداد 1396 01:27 ب.ظ
Excellent way of telling, and good piece
of writing to get information about my presentation focus, which i
am going to present in school.
How long do you grow during puberty?
شنبه 7 مرداد 1396 09:44 ق.ظ
Hey I know this is off topic but I was wondering if you knew of any widgets I could add to my
blog that automatically tweet my newest twitter updates. I've been looking for a plug-in like this for quite some time and was hoping
maybe you would have some experience with something like this.
Please let me know if you run into anything. I truly enjoy reading your blog and I look forward to your new updates.
BHW
جمعه 25 فروردین 1396 03:23 ب.ظ
With havin so much written content do you ever run into any problems of plagorism or copyright infringement?
My blog has a lot of unique content I've either created myself or outsourced but it appears a lot of it is popping it up all over the
web without my authorization. Do you know any ways to help prevent content from being
ripped off? I'd really appreciate it.
BHW
جمعه 25 فروردین 1396 09:31 ق.ظ
I constantly emailed this blog post page to all my friends, because if like to read it
after that my friends will too.
جبر خطی همراه با کاربردها
دوشنبه 21 اردیبهشت 1394 11:09 ق.ظ
دانلود کتاب جبر خطی همراه با کاربردها
http://booktolearn.com/?p=6470
 
لبخندناراحتچشمک
نیشخندبغلسوال
قلبخجالتزبان
ماچتعجبعصبانی
عینکشیطانگریه
خندهقهقههخداحافظ
سبزقهرهورا
دستگلتفکر

آمار وبلاگ

  • کل بازدید :
  • بازدید امروز :
  • بازدید دیروز :
  • بازدید این ماه :
  • بازدید ماه قبل :
  • تعداد نویسندگان :
  • تعداد کل پست ها :
  • آخرین بازدید :
  • آخرین بروز رسانی :